Nederlog        

 

26 december 2008

Twee negaties


 

 

Gisteren had ik het over L.E.J. Brouwer en de Neerlandse overheids-communicatie en schreef ik, in een voetnoot, dat ik Brouwer's intuitionistische visie op de wiskunde niet deel, maar

dat ikzelf, geheel onafhankelijk van Brouwer of wie ook, ca. 1974 tot de konklusie kwam dat er twee negaties zijn - waarna ik redelijk snel uitvond dat Brouwer althans een verwante gedachtengang had gehad, maar niet dezelfde, en dat Zinoviev vrijwel dezelfde, en allebei (veel) eerder dan ik. Wie hier meer van wil weten raadplege Meer uitgebreide propositionele logica en de daargegeven links.

Mocht u de link gevolgd hebben dan bent u heel wel mogelijk in mijn Philosophical Dictionary terechtgekomen en een korte verhandeling met veel logische symbolen en tafels, en waarschijnlijk weinig helderheid tenzij u eerder behoorlijk baadde in wiskundige wateren.

In wat volgt zal ik proberen het bestaan van en het verschil tussen twee negaties te verklaren zonder kennis van logica of wiskunde te veronderstellen, omdat het interessant is en omdat het iets over een bij uitstek menselijke manier van kennen laat zien.

Daarmee bedoel ik de negatie, dus de ontkenning, dus het woordje "niet" gebruikt in beweringen, want dit maakt iets mogelijk dat zonder representatie van wat mogelijk kan zijn ... niet mogelijk is en dat met representatie van wat mogelijk kan zijn, zoals bijvoorbeeld door een tekening of schilderij, geheel niet automatisch meegeleverd wordt: Het vermogen op zeer eenvoudige wijze mee te delen en weer te geven dat iets niet het geval is.

De mogelijkheid van symbolische negatie en het gebruik daarvan is dus kennelijk een menselijke verrijking van al dat is, een extra dat boven de natuur zonder mensen of zonder symbolische representatie is (*), dat bestaat in de expliciete mogelijkheid weer te geven wat niet het geval is en mee te delen, middels een symbool voor ontkenning, een zogeheten negatie, dat dit er niet is.

Iedere natuurlijke taal kent dit begrip en n of meer termen ervoor of in verband ermee (als in het Nederlands ook "non-" en "on-") en heeft er een meestal impliciete logische regelgeving voor, die indien gexpliciteerd in de formele logica op aannames, regels of bewijsbare beweringen neer komt als "geen bewering is tegelijk wel en niet waar", "iedere bewering is wel of niet waar" en meer.

En gebruikelijke regel (aanname, theorema (**)) geldt de zogeheten dubbele negatie, dus twee negaties achter elkaar in een bewering, als "het is niet zo dat het niet zo is dat ...",  met op de puntjes een willekeurige bewering, die bestaat in de stelling dat een dubbele negatie gelijk gn negatie is, of anders gezegd, dat als het waar is dat "het is niet zo dat het niet zo is dat ..." het dan en daarom ook waar moet zijn dat "..." en ook omgekeerd.

Als het niet waar is dat het niet waar is dat u in Wenen bent, dan moet u immers in Wenen zijn, en als u in Wenen bent, dan kan het niet waar zijn dat het niet waar is dat u in Wenen bent, bijvoorbeeld.

Dit kan op diverse manieren beargumenteerd of gegrondvest worden, en staat soms bekend als het beginsel van tweewaardigheid (bivalentie), in de zin dat een bewering waar is of anders niet waar is, en dat is dat, en soms (daarom ook, en via het Latijn) als 'tertium non datur': Er is niet een derde mogelijkheid (naast de twee: waar of niet waar).

L.E.J. Brouwer was het hier niet mee eens, en dat was n van de uitgangspunten van zijn intutionistische wiskunde, en meende, meer specifiek, dat het wel altijd waar was dat als een willekeurige bewering, die we voor het gemak als "q" zullen schrijven, waar is het dan ook waar is dat het niet waar is dat het niet waar is dat q of korter: dat het niet waar is dat niet-q waar is, maar niet altijd en overal omgekeerd, dus dat als het niet waar is dat niet-q waar is het, dan en daarom en daardoor, waar moet zijn dat q waar is. Brouwer zei (en liet in de wiskunde zien) dat dit niet zo was.

Hij had hier diverse redenen voor en n had te maken met de wiskundige techniek van bewijzen uit het ongerijmde, dat is, een bewijs dat een bewering q waar is door een bewijs dat uit q volgt dat q. Als het waar is dat uit q volgt dat q dan hebben we het gevraagde bewijs, maar Brouwer vond dit, althans in sommige gevallen, meer een petitio (***) dan een geldig argument, ook al omdat q zelf niet bewezen was, maar alleen de ontkenning van q weerlegd.

Maar Brouwer voerde geen twee negaties in, maar een zekere verzwakking van de logica, door de verwerping van de stelling dat uit q volgt dat q.

Dit is heel wel mogelijk, en is gedaan door Brouwer's leerling A.J. Heyting, die een formele intutonistische propositionele logica bedacht die erg op de standaard klassieke tweewaardige propositie-logica lijkt waarin wl volgt uit q volgt dat q.

Ik voerde wel twee negaties in en had dan ook een heel ander uitgangspunt in de vroege zeventiger jaren, namelijk de vraag wat het exacte logische verschil was tussen, bijvoorbeeld, "Aristoteles is niet een zanger" en "het is niet waar dar Aristoteles een zanger is".

De vraag zo stellen was hem gelijk beantwoorden met de invoering van twee negaties, n als het ware in de zin, voor het predikaat van de zin, en de andere als het ware voor de hele zin.

De zin daarvan wordt wellicht duidelijke met de notatie "-" voor de -zogeheten -  sterke negatie in de zin en de notatie "" voor de zwakke negatie vr de zin en met de daarmee gepaarde afspraak "vals" of "weerlegd" voor de eerste negatie te gebruiken en "niet waar" of "onwaar" voor de tweede.

In propositionele logica worden ook alleen proposities weergegeven in de notatie en geen predikaten (als daar sprake van is hebben we predikaten-logica, in beginsel) zodat "-" ook vr de zin geparkeerd wordt (bij conventie) en we de mogelijkheid krijgen tot de volgende onderscheidingen, waar we bovendien "&" voor het logische "en" tussen twee volzinnen gebruiken:

(1)   q & -q
(2)  -q & q
(3)  -q & q

Kortom, een bewering q is ofwel waar en de bewering dat q vals is is niet waar; ofwel q is vals en de bewering dat q is niet waar; ofwel q is niet vals en q is niet waar.

Hetzelfde kan scherper gezegd worden door "q" te vervangen door "+q", dat gelezen kan worden als "q is geverifieerd", zoals "-q" gelezen kan worden als "q is gefalsificeerd":

(1)   +q & -q
(2)   -q & +q
(3)  -q & +q

Het mag duidelijk zijn dat hier drie mogelijkheden liggen, zeg: geverifieerd, gefalsificeerd of onbeslist, en het mag lijken alsof dit een weerlegging van het tertium non datur is, maar dit laatste is niet noodzakelijk zo, en verscheen ook niet zo aan mij toen ik het bovenstaande bedacht had.

In feite leek het me nog steeds evident dat ieder van die drie conjuncties waar is of niet, terwijl het tamelijk makkelijk is om te zien (en bewijsbaar is in een verder stadium) dat q, dus de oude vertrouwde zwakke negatie, in de bovenstaande analyse verfijnd is tot een disjunctie van twee mogelijkheden: q is niet waar, dus q is waar precies als ofwel q vals is dus -q waar is ofwel q onbeslist is.

En het is intuitief vrij duidelijk dat er tamelijk vanzelfsprekende voorbeelden van de laatste onbesliste mogelijkheid zijn, namelijk met, in de eerste plaats, beweringen die gaan over de toekomst (zogenaamde futura contingentia beweringen) als - ook een voorbeeld van Aristoteles in dit verband, maar ook hij voerde geen twee negaties in - "Morgen vindt een zeeslag plaats" dat vandaag intuitief onbeslist is, omdat het (nog) niet waar is dat het morgen is en een zeeslag plaatsvindt en ook (nog) niet waar is dat het morgen is en geen zeeslag plaatsvindt, en in de tweede plaats beweringen over vage gevallen en tussenstadiums.

Twee voorbeelden van het laatste zijn "het regent wel en het regent niet" op de plaats van de rand van de bui, waar het net (niet) begint te spatteren, en "het is geen meisje en het is wel een meisje", omdat ze in de puberteit is.

Een derde voorbeeld betreft het uitdrukken van twijfel, onbekendheid of onwetendheid: "ik weet niet dat het in Reykjavik sneeuwt en ik weet ook niet dat het in Reykjavik niet sneeuwt, want ik ben helemaal niet in Reykjavik" en "nee, ik ga niet zeggen dat Armstrong de Tour weer wint en ook niet dat Amstrong de Tour niet wint, want ik weet het eenvoudig niet".

U ziet trouwens, als u tot hier gelezen hebt, dat logica best mee kan vallen en heel wel licht op heel alledaagse manieren van spreken en denken kan werpen, want dat u ondertussen heel wel mogelijk zo oud bent als ik, en nog niet eerder zo helder onder ogen zag dat er best wel eens twee negaties kunnen zijn.

Terug naar dat "tertium non datur" dat ik niet verwierp, ondanks de schijn van drie fundamentele logische mogelijkheden. Ik bedacht namelijk dat het helemaal niet nodig is een derde waarheidswaarde in te voeren, bijvoorbeeld voor onbeslistheid (zeg , naast 1 voor waar en 0 voor vals), zolang ik maar een kleine wijziging maakte in de standaard waarheidtafels, namelijk door niet de waarheidswaarden langs de rand van de te definiren tafels te schrijven, maar de drie fundamentele mogelijkheden, waarbij ik "?q" invoerde voor "-q & q", met dit als resultaat voor de meest eenvoudige mogelijkheid van n bewering:



 +q  -q  ?q  q  -q  ?q  --q  -?q  ?-q
1  +q   1   0         0    0          1    1    1   1         0
2  -q   0   1       0    1          0    1    0   1         0
3  ?q   0   0       1    1          1    0    0   0        1

Dit gebruikt alleen de klassieke twee fundamentele waarheidswaarden, en geeft toch de mogelijkheid waarheid, valsheid en onbeslistheid (onzekerheid, onbepaaldheid) formeel weer te geven en te behandelen.

Het laat ook zien wat ik boven minder precies in woorden uitdrukte, namelijk

(4) (q V q)
(5) q is
gelijkwaardig met (-q V ?q)

Dus de "klassieke wet van tweewaardigheid" in de vorm "q is waar of q is niet waar" geldt nog steeds maar de bewering dat q niet waar is, dus dat q waar is krijgt de verfijning dat q waar is precies dan als q vals is of q onbeslist is. (****)

En om dit af te sluiten met nog wat elementaire formaliteiten die te verifiren zijn met hulp van de bovenstaande tafel, over dubbele negaties en de relatie tussen de twee negaties:

(6) q is gelijkwaardig met q (waar q een willekeurige bewering is)
(7) --q s gelijkwaardig met q (waar q een willekeurige bewering is)
(8) -q impliceert q (waar q een willekeurige bewering is)

maar het is niet zo dat q impliceert dat -q, omdat het immers het geval kan zijn dat -q en daarmee, gegeven q, dat ?q.

In 1975 vond ik dat het bovenstaande vrijwel volledig eerder bedacht was door de Russische logicus en filosoof A.A. Zinoviev, die daarover en over veel meer dat de logica betreft, een heel fraai boek had geschreven, dat ik in Duitse vertaling leerde kennen en sindsdien bezit: "Logische Sprachregeln" (uitgegeven in 1975 in de DDR, vertaald door, of all possible names, Horst Wessel, en vast niet meer te koop).

As it happened zijn Brouwer's opvattingen over wiskunde en logica nog steeds een minderheidsstandpunt (al is de verwante school van het constructivisme tamelijk populair onder computer-wetenschappers, voorzover ze over wiskundige grondslagen denken) en ook Zinoviev's opvattingen over logica zijn nooit populair of zelfs maar erg bekend buiten de voormalige Sovjet-Unie geworden. (*****)

And as it also happened, ben ik hier zelf ook wat verder meegegaan, onder andere in mijn doctoraalscriptie en later, als in Extended Propositional Logic.

Ik denk nog steeds dat het zinnig is en ik hoop feitelijk de gezondheid, de tijd en de gelegenheid te vinden mijn analyses te vervolgen, want dit - twee negaties - is dus een logisch onderwerp waar ik nu zo een 35 jaar - af en aan, bij gelegenheid, en sinds dekaden tussen de pijn en de moeheid door - over gedacht heb.


P.S. U kunt dat een vreemde tijdsbesteding vinden, en ik zeg geheel geen nee - maar geef toe dat mijn moeite een hl fundamenteel, heel menselijk, heel logisch, en voor mensen en menselijke communicatie vrijwel onmisbaar begrip en woord betreft. En ook kunt u nu met althans iets meer verfijning de (on)waarheid spreken, tenzij u alles dat ik stelde al wist en begreep.

Maar u kunt nu met enige stelligheid - bijvoorbeeld - zeggen en menen: "Nee, toen ik zei dat het niet waar is bedoelde ik niet dat het vals is, maar bedoelde ik dat het onbeslist is." - wat immers vast soms waar is.

U vindt overigens flink meer over het onderwerp in mijn Philosophical Dictionary, inclusief uitbreidingen naar sterke en zwakke conjuncties en disjuncties.

En u mag - desgewenst: het is Kerst - denken hoe goed het is van mr.dr. Marius Job Cohen dat ik hierop en wat hier mee samenhangt voor propositionele attitudes niet mag promoveren, en dat hij mij in acht jaar, alleen maar gedwongen en indirect, feitelijk niets antwoordde behalve bij logische implicatie dat hij en de 17.000 hooggetrainde ambtenaren van de gemeente Amsterdam na minstens een half jaar studie niets hebben kunnen vinden dat onwaar is in ME in Amsterdam.

(*) Dus wie metafysica zoekt moet - dunkt me - hier zoeken: Wat niet is, wellicht niet is, mogelijk niet is, niet zo hoeft te zijn, nog niet zo is etc. zijn allemaal - in ieder geval tot de erin voorziene mogelijkheid uitkomt - menselijke uitbreidingen, verrijkingen, van wat in werkelijkheid het geval is via wat gedacht en gerepresenteerd kan worden - valse of speculatieve kaarten, afbeeldingen, representaties, diagrammen, verbale samenvattingen van wat mogelijk is of mogelijk niet is.

(**) "Theorema" is wiskundige kretologie voor "bewijsbare stelling" (hetgeen een stelsel axioma's en regels vooronderstelt).

(***) Van "petitio principii" - de drogreden die erin bestaat dat men iets "bewijst" (of doet alsof men iets "bewijst" of "bewezen" heeft) door het te veronderstellen.

(****) Dit "verfijning" is vrij exact uitgedrukt, en men kan even exact zeggen dat het bovenstaande een analyse is van het begrip negatie, die laat zien dat dit ontleed kan worden in termen van zwakke negatie, sterke negatie en onbeslistheid, die ook definieerbaar wordt middels het onderscheid van de twee negaties.

(*****) Zinoviev zelf werd vanaf 1974 wel tamelijk bekend, maar veel minder als logicus of filosoof dan als dissident en satiricus, want Leonid Brehznev zette hem de Sovjet-Unie uit in 1974 vanwege de publicatie in Zwitserland van een dikke en zeer scherpzinnige satire van de Sovjet-Unie (en in feite: macht in bureaucratische en politieke organisaties), die in het Engels bekend werd als "Yawning Heights" en ook in het Nederland vertaald is als "Gapende Hoogten". Hij had daarna nog enige faam als analist van Russische verhoudingen, maar raakte impopulair nadat het beleid van Jeltsin aangetoond leek te hebben dat, anders dan Zinoviev verwachtte, Rusland het socialisme van zich af kon schudden. Mocht Rusland onder Poetin onder de crisis instorten, en terugkeren tot een vorm van neo-stalinisme, dan zullen zijn analyses wel weer populairder worden, als Westeuropa dan nog niet verzwolgen is door Rusland.

Maarten Maartensz

        home - index - top - mail